비례 (P) 제어 시스템 안내서
0.1 자동 제어 시스템의 이해
0.1.1 제어 시스템의 필요성과 피드백 제어의 원리
자동 제어 시스템의 목적은 시스템의 출력(Output)을 원하는 목표값(Setpoint 또는 Reference value)에 도달시키고, 외부의 교란(Disturbance)에도 불구하고 그 상태를 안정적으로 유지하는 것이다.1 이를 달성하기 위해 가장 널리 사용되는 방법이 피드백(Feedback) 제어이다. 피드백 제어 시스템은 제어 대상의 출력값을 지속적으로 측정하고, 이를 목표값과 비교하여 오차(Error)를 계산한다.1 이 계산된 오차값을 바탕으로 제어에 필요한 조작량(Manipulated Variable)을 결정하고, 이를 시스템에 적용하여 오차를 줄여나가는 폐루프(Closed-loop) 구조로 동작한다. 이 과정은 마치 사람이 어떤 목표를 향해 나아갈 때 현재의 위치와 목표 지점 사이의 거리를 끊임없이 확인하고, 그에 맞춰 행동을 수정하는 것과 같다.
0.1.2 비례 제어(Proportional Control)의 역할과 중요성
PID 제어기는 비례(Proportional), 적분(Integral), 미분(Derivative) 제어의 세 가지 기본 동작을 결합한 형태로서, 오늘날 산업 전반에 걸쳐 가장 광범위하게 사용되는 제어 기법이다.1 이 중 비례 제어는 PID 제어기의 핵심을 이루는 가장 기본적이면서도 중요한 제어 방식이다. 비례 제어는 현재 상태의 오차 크기에 비례하여 즉각적인 제어 작용을 수행함으로써 시스템의 응답 속도를 결정하는 역할을 담당한다.2 비례 제어는 단독으로도 제어 기능을 수행할 수 있지만, 일반적으로 다른 제어 동작과 함께 사용되어 시스템의 응답 성능을 근본적으로 향상시키는 기반이 된다.
0.2 비례 제어의 기본 원리 및 개념
0.2.1 비례 제어의 정의: 편차와 조작량의 관계
비례 제어(Proportional Control)란 제어 시스템의 조작량이 제어 편차(error)에 비례하여 연속적으로 변화하는 제어 방식을 말한다.4 이 방식의 핵심은 제어량의 변화에 따라 조작부가 연속적으로 부드럽게 동작한다는 점이다. 시스템의 현재값이 목표값과 크게 차이 날 때, 즉 편차가 클 때는 조작량도 크게 출력하여 목표값에 빠르게 접근하도록 만든다.3 반대로 목표값에 가까워져 편차가 작아지면, 조작량도 비례하여 작게 출력함으로써 제어량이 목표값에 유연하게 도달할 수 있도록 돕는다.3 이처럼 비례 제어는 오차의 크기에 따라 제어의 강도를 조절하는 가장 직관적이고 기본적인 제어 논리를 제공한다.
0.2.2 비례대(Proportional Band)와 감도(Sensitivity)의 관계 분석
제어 공학의 이론적 영역에서는 감도(K_G)라는 용어를 사용하나, 실제 현장에서는 비례대(Proportional Band, PB)라는 용어를 주로 사용한다.4 비례대는 제어량(예: 온도, 압력)이 0%에서 100%까지 변화하는 데 필요한 조작량의 변화 폭을 의미한다.5 비례대는 감도(K_G)와 반비례 관계에 있으며, 그 관계는 다음과 같이 정의된다.4
K_G = \frac{100}{PB}
비례대가 작다는 것은 제어량이 아주 작은 폭으로 변해도 조작량이 크게 변한다는 의미로, 이는 제어 감도가 매우 좋음을 나타낸다.4 반대로 비례대가 크면 제어량이 큰 폭으로 변해야만 조작량이 크게 변하므로 감도가 떨어진다. 여기서 중요한 점은 비례대(PB)가 실제 장비에서 설정하는 실무적인 ’폭’의 개념이라면, 감도(K_G)는 제어기의 수학적 모델에 사용되는 이론적 ’이득’의 개념이라는 것이다. 이 둘의 역수 관계는 엔지니어가 현장에서 직관적으로 이해하는 설정값(PB)을 제어 이론의 핵심 파라미터(이득, K_p)로 직접 변환하여 제어기의 동작 특성을 예측할 수 있게 하는 중요한 연결고리를 제공한다.
0.3 수학적 모델: 비례 이득(K_p)의 의미
0.3.1 비례 제어의 수학적 표현
비례 제어기의 동작은 수학적으로 오차 e(t)에 비례 이득 K_p를 곱하여 제어값 u(t)를 결정하는 간단한 식으로 표현할 수 있다.1
u(t) = K_p \cdot e(t)
이때 각 변수의 의미는 다음과 같다.
-
u(t): 시간 t에서의 제어값 또는 조작량(Manipulated Variable, MV)이다.7
-
e(t): 시간 t에서의 오차(Error)이다. 이는 목표값과 현재값의 차이(e(t) = \text{목표값} - \text{현재값})로 계산된다.6
-
K_p: 비례 이득(Proportional Gain)이다. 이는 시스템의 응답 민감도를 조절하는 핵심적인 상수로서, 설계자가 시스템의 특성에 맞게 설정하는 값이다.6
0.3.2 비례 이득(K_p)이 시스템 응답에 미치는 영향
비례 이득 K_p는 시스템의 응답 속도와 안정성에 직접적인 영향을 미치는 가장 중요한 파라미터이다.8
K_p가 클수록 오차에 대한 조작량의 변화가 커지므로, 시스템은 목표값에 더 빠르게 도달한다. 즉, 상승 시간(rise time)이 줄어들어 반응 속도가 빨라지는 것이다.3 그러나 이득값이 너무 크면 제어계가 불안정해지고, 심한 경우 발산할 위험이 있다.4 반대로 K_p가 작으면 조작량이 서서히 변하므로 시스템의 반응 속도가 느려지고, 목표값에 도달하는 시간이 길어진다.3 다음 표는 K_p의 변화가 제어 시스템의 응답 특성에 미치는 영향을 요약한다.
| 특성 | K_p 증가 시 | K_p 감소 시 |
|---|---|---|
| 응답 속도 (상승 시간) | 빨라짐 (감소) | 느려짐 (증가) |
| 오버슈트 | 커짐 | 작아짐 |
| 시스템 안정성 | 나빠짐 | 좋아짐 |
| 정상 상태 오차 | 감소 | 증가 |
0.3.3 비례 이득과 오버슈트 및 진동의 관계
K_p가 클 때 발생하는 대표적인 현상이 오버슈트(Overshoot)와 진동(Oscillation)이다.3 오버슈트는 제어값이 목표값을 초과하여 상승하는 현상으로, 과도한 오버슈트는 시스템에 무리를 줄 수 있으며, 제어 시스템의 상대적인 안정도를 측정하는 지표로 자주 활용된다.2
이 현상의 근본적인 원리는 다음과 같다. K_p가 크면 목표값과의 오차가 조금만 발생해도 조작량이 급격하게 커진다. 이로 인해 제어량은 목표값을 향해 빠르게 상승하지만, 목표값에 근접했을 때도 여전히 큰 조작량이 출력되어 목표값을 지나쳐 버리는 오버슈트가 발생한다.3 오버슈트가 발생하면 오차의 부호가 바뀌고, 이 새로운 오차에 다시 큰 K_p가 곱해져 반대 방향으로 과도한 조작량이 출력된다. 이 과정이 반복되면서 제어량은 목표값을 중심으로 진동하게 된다.4 만약 시스템의 고유한 감쇠(damping)가 부족하다면 이러한 진동은 줄어들지 않고 오히려 커져 시스템이 발산하는 불안정한 상태에 도달할 수 있다.11 이러한 현상은 비례 제어 단독으로는 빠른 응답 속도와 안정성을 동시에 완벽하게 달성하기 어려운 구조적 한계를 보여준다.
0.4 비례 제어의 한계: 잔류 편차 문제
0.4.1 정상 상태 오차(Steady-state Error)의 발생 원인
비례 제어의 가장 큰 단점은 정상 상태 오차(Steady-state Error), 즉 잔류 편차(Offset)가 필연적으로 발생한다는 점이다.3 정상 상태 오차는 제어량이 목표값에 매우 가까운 상태에서 더 이상 제어량이 변하지 않고 안정된 상태로 유지될 때 발생하는 미소한 오차를 의미한다.6 제어량은 목표값에 근접하지만, 아무리 시간이 지나도 목표값과 완전히 일치하지 않는 상태로 남게 된다.4
0.4.2 잔류 편차의 근본적 원인 심층 분석
정상 상태 오차는 비례 제어 메커니즘 자체의 논리적 귀결이다.6
u(t) = K_p \cdot e(t)라는 비례 제어의 수학적 표현에 따르면, 시스템이 목표값에 완전히 도달하여 오차 e(t)가 0이 되면 제어값 u(t) 역시 0이 된다.
하지만 많은 시스템은 외부의 부하나 마찰, 중력과 같은 외란에 대항하여 특정 출력값을 유지하기 위해 지속적으로 일정한 크기의 조작량(u(t))을 필요로 한다. 만약 제어량이 목표값에 완전히 도달하면 오차는 0이 되고, 이에 따라 조작량도 0이 되어 시스템은 외란에 대항할 힘을 잃게 된다.
따라서 비례 제어 시스템은 필요한 조작량을 발생시키기 위해 의도적으로 미소한 오차 e(t)를 가진 상태에서 안정된 균형을 이루게 된다.13 이 오차가 바로 정상 상태 오차이다. 이러한 현상은 P 제어를 스프링에 비유하여 시각화할 수 있다. 스프링은 물체를 당기지만, 외부에 힘(외란)이 존재하는 한 물체는 스프링과 정확히 같은 위치에 있지 않고, 힘의 균형을 이루는 지점에 머무르게 된다. 비례 제어는 오차에 비례하여 힘을 가하는 것이므로, 힘이 필요한 상황에서는 필연적으로 오차를 남길 수밖에 없다.
0.4.3 잔류 편차의 극복 방안: 적분 제어의 필요성
잔류 편차는 비례 제어만으로는 제거할 수 없는 고유한 한계이다.2 이 문제를 해결하기 위해 도입된 것이 적분 제어(Integral Control)이다.2 적분 제어는 시간이 흐름에 따라 누적된 오차(적분값)를 이용하여 미소한 오차를 지속적으로 보정하는 역할을 수행한다.3 오차가 아주 작아져서 비례 제어로는 더 이상 제어가 불가능한 상태가 되어도, 적분 제어는 이 미소한 오차를 시간에 대해 누적하여 조작량을 계속 증가시킴으로써 결국 오차를 0으로 만들고 목표값에 완벽하게 일치시키는 것이 가능하다.6
0.5 다른 제어 방식과의 비교 분석
0.5.1 ON/OFF 제어와의 차이점: 연속 제어의 우수성
ON/OFF 제어는 제어량이 목표값에 미치지 못하면 조작량을 100%로, 초과하면 0%로 조절하는 가장 단순한 제어 방식이다.5 이 방식은 제어 조작량이 0%와 100% 사이를 극단적으로 왕래하므로, 제어량이 목표값 부근에서 심하게 오르내리는 헌팅(hunting) 현상을 유발하는 단점이 있다.14
반면 비례 제어는 오차의 크기에 따라 조작량을 연속적으로 변화시키므로, ON/OFF 제어에 비해 오버슈트와 헌팅이 현저히 적어 더 안정적인 제어 결과를 제공한다.3 ON/OFF 제어는 사실상 비례 제어의 한 극단적인 형태, 즉 비례 이득(K_p)이 무한대에 가까울 정도로 매우 큰 비례 제어 시스템으로 해석할 수 있다.17 오차가 아주 미세하게만 발생해도 출력이 즉시 100% 또는 0%로 바뀌는 ON/OFF 제어의 특성은, 큰 오차에 대해 매우 민감하게 반응하는 높은 이득의 비례 제어와 동일한 원리로 설명된다. 이러한 통합적인 관점은 두 제어 방식의 동작 특성 차이를 더 깊이 이해하는 데 도움을 준다.
0.5.2 PID 제어 내 비례 제어의 역할
비례, 적분, 미분 제어는 각각 다른 역할을 담당하며, 이들이 결합하여 뛰어난 성능을 발휘하는 PID 제어 시스템을 구성한다.1 각 제어 항의 역할은 다음과 같이 요약할 수 있다.
-
P (비례) 제어: 현재 오차에 비례하여 제어값을 조정하며, 응답 속도를 향상시켜 시스템이 목표값에 빠르게 도달하도록 한다.2
-
I (적분) 제어: 누적된 오차를 이용하여 비례 제어의 한계인 정상 상태 오차를 제거한다.2
-
D (미분) 제어: 오차의 변화율에 따라 제어값을 조정하며, 제어량의 급격한 변화를 억제하여 오버슈트를 줄이고 안정성을 높이는 역할을 한다.1
다음 표는 주요 제어 방식별 특성을 비교하여 각 제어 항의 기여도를 보여준다.
| 특성 | ON/OFF | P | PI | PD | PID |
|---|---|---|---|---|---|
| 응답 속도 | 매우 빠름 | 빠름 | 빠름 | 매우 빠름 | 매우 빠름 |
| 정상 상태 오차 | 존재 | 존재 | 제거 가능 | 존재 | 제거 가능 |
| 오버슈트 억제 | 매우 약함 | 약함 | 약함 | 매우 좋음 | 매우 좋음 |
| 시스템 안정성 | 불안정 (높은 이득 시) | 불안정 (높은 이득 시) | 비교적 안정 | 안정 | 매우 안정 |
| 응용 분야 예시 | 단순한 냉난방 | 일부 온도 제어 | 유량, 압력, 열교환기 온도 제어 | 속도, 위치 제어 | 모든 정밀 제어 분야 |
0.6 비례 제어의 실제 적용 사례
0.6.1 산업 분야에서의 응용 예시
비례 제어는 단독으로 사용되는 경우도 있지만, 대부분은 PI나 PD 제어의 형태로 더 많이 사용된다.11 그러나 P 제어의 원리는 모든 연속 제어의 기본이 되므로, 여러 분야에 광범위하게 적용된다.
- 온도 제어: 비례 제어는 온도 조절기에서 가장 명확하게 적용되는 제어 방식이다.5 예를 들어, 설정값이
100^{\circ}C이고 비례 폭이 \pm 10^{\circ}C로 설정된 경우, 제어 대상의 온도가 90^{\circ}C \sim 110^{\circ}C 범위에 있을 때 조작량은 0%에서 100%까지 연속적으로 변한다.5 온도가 91^{\circ}C이면 95%의 조작량을, 109^{\circ}C이면 5%의 조작량을 출력하는 방식으로 정밀한 제어가 가능하다.5 이러한 연속적인 조작은 ON/OFF 제어에 비해 에너지 효율을 높이고, 제품 품질을 균일하게 하는 데 기여한다.
- 유량 및 압력 제어: 비례 제어 밸브는 컨트롤러에서 출력되는 전기 신호(예: 4-20mA)에 비례하여 밸브의 개방 정도를 조절함으로써 유량이나 압력을 제어한다.18 신호 전류가 증가함에 따라 밸브가 더 많이 열려 흐르는 유량이 많아지는 원리로 동작한다.18
0.6.2 일상생활 속 비례 제어 시스템
비례 제어는 우리 주변의 다양한 자동화 시스템에도 적용된다. 자동차의 크루즈 컨트롤(Cruise Control) 기능은 비례 제어의 작동 과정을 직관적으로 보여주는 좋은 예시이다.19
목표 속도를 10m/s로 설정하고 비례 이득 K_p를 0.5로 가정하라. 현재 속도가 4m/s라면, 오차 e(t)는 10 - 4 = 6m/s가 된다. 비례 제어기는 이 오차에 K_p를 곱한 3m/s(6 \times 0.5)만큼의 가속을 명령한다. 그 결과 자동차의 속도는 7m/s(4 + 3)로 증가한다. 다시 오차는 10 - 7 = 3m/s가 되고, 제어기는 1.5m/s(3 \times 0.5)의 가속을 명령한다.19 이처럼 목표값에 가까워질수록 조작량(가속)이 비례하여 작아지면서 부드럽게 목표값에 접근하는 것이 비례 제어의 원리이다.
이러한 실제 적용 사례를 통해 알 수 있듯이, 비례 제어는 이론적으로 정상 상태 오차라는 한계를 가지지만, 실제 응용 분야에서는 이 오차가 허용 가능한 범위 내에 있거나, 다른 제어 방식과의 결합을 통해 보완되므로 매우 광범위하게 사용된다. 특히 P 제어는 시스템의 파라미터가 조금씩 변동하더라도 어느 정도 용인되는 결과를 보여주는 강건성(robustness)을 부여하는 핵심적인 요소이다.8
0.7 결론: 비례 제어의 종합적 고찰
0.7.1 비례 제어의 장단점 요약
비례 제어는 자동 제어의 기본 원리로서 다음과 같은 명확한 장단점을 가진다.
-
장점: 오차에 비례하여 조작량을 연속적으로 변화시키므로 ON/OFF 제어에 비해 오버슈트 및 헌팅이 적어 안정적인 제어가 가능하며, K_p 조절을 통해 응답 속도 및 상승 시간을 효과적으로 단축할 수 있다.2 또한, 구조가 단순하고 구현이 용이하다는 실용적인 장점도 있다.
-
단점: 비례 제어만으로는 조작량에 필요한 힘을 지속적으로 가하기 위해 필연적으로 정상 상태 오차가 발생한다.3 또한,
K_p가 너무 클 경우 오버슈트와 함께 진동이 발생하여 시스템이 불안정해질 위험이 있다.3
0.7.2 최적 제어기 설계를 위한 비례 제어의 활용 방안 제시
비례 제어는 단독으로 사용될 때 정상 상태 오차라는 고유한 한계를 가지므로 완벽한 제어 성능을 제공하지는 못한다. 그러나 비례 제어는 모든 연속 제어의 기본이 되는 가장 핵심적인 역할을 수행한다. 비례 제어는 시스템의 응답 속도와 안정성 사이의 균형을 조절하는 기본 축을 담당하며, 여기에 적분 제어(I)가 더해져 정상 상태 오차를 제거하고, 미분 제어(D)가 더해져 급격한 변화를 억제하고 오버슈트를 줄인다.1 이 세 가지 제어 항의 역할이 유기적으로 결합될 때 비로소 완벽에 가까운 PID 제어 시스템이 완성된다. 따라서 비례 제어는 단순한 제어 방식이 아니라, 복합적인 제어 시스템을 설계하고 성능을 최적화하는 데 있어 가장 중요한 첫걸음이자 기본 원리라 할 수 있다.
1. 참고 자료
- PID 제어 (r5 판) - 나무위키, https://namu.wiki/w/PID%20%EC%A0%9C%EC%96%B4?uuid=d2b3c05e-c3b0-4e78-987b-ba38b66057af
- [2기 전주 심경원] PID 피드백 제어 시스템 - 정보공간_1 - 티스토리, https://secmem.tistory.com/130
- [Control] PID 제어 - velog, https://velog.io/@717lumos/Control-PID-%EC%A0%9C%EC%96%B4
- www.randb.co.kr, http://www.randb.co.kr/wp-content/uploads/2014/12/PID-Control.pdf
- 4-4.비례 (P) 제어 - HEAT-TECH, https://heater.heat-tech.biz/ko/air-blow-heater/basic-knowledge-of-temperature-controller/20804.html
- [제어] PID 제어의 간단한 설명 - mokhwa_embedded - 티스토리, https://mokhwasomssi.tistory.com/49
- PID 제어기란? - 코코의 행복한 개발도전기, https://yunslog.tistory.com/78
- 제어공학 - PID 제어 - domybestinlife - 티스토리, https://domybestinlife.tistory.com/336
- PID 제어(1) - 서랍 - 티스토리, https://self-efficacyyy.tistory.com/3
- PID 기반 조향각제어 - velog, https://velog.io/@noogoolgga/PID-%EA%B8%B0%EB%B0%98-%EC%A1%B0%ED%96%A5%EA%B0%81%EC%A0%9C%EC%96%B4
- PID 제어에서 오차를 적분하면 어떻게 정상 상태 오차가 안 생기게 되는 거야? 그리고 시간에 따른 오차의 미분을 사용하는 게 PID 정확도를 어떻게 높여주는지도 궁금해! 고마워! : r/engineering - Reddit, https://www.reddit.com/r/engineering/comments/nj9nmw/how_does_the_integrating_the_error_stop_steady/?tl=ko
- self-efficacyyy.tistory.com, https://self-efficacyyy.tistory.com/3#:~:text=%F0%9F%93%8C%EC%A0%95%EC%83%81%20%EC%83%81%ED%83%9C(Steady%2Dstate)%EC%99%80%20%EC%A0%95%EC%B0%A9%20%EC%8B%9C%EA%B0%84&text=%EC%A0%95%EC%B0%A9%EC%8B%9C%EA%B0%84%EC%9D%B4%20%EC%A7%A7%EC%9D%84%20%EC%88%98%EB%A1%9D,%EC%95%8A%EB%8A%94%20%EC%9E%94%EB%A5%98%20%EC%98%A4%EC%B0%A8%EB%A5%BC%20%EB%A7%90%ED%95%9C%EB%8B%A4.
- self-efficacyyy.tistory.com, https://self-efficacyyy.tistory.com/3#:~:text=%EC%A0%95%EC%83%81%EC%83%81%ED%83%9C%20%EC%98%A4%EC%B0%A8%EA%B0%80%20%EB%A7%8C%EB%93%A4%EC%96%B4,%ED%8E%B8%EC%B0%A8%EA%B0%80%20%EC%A1%B4%EC%9E%AC%ED%95%98%EA%B2%8C%20%EB%90%9C%EB%8B%A4.
- P/I/PI/PID제어 - Enthusiasm - 티스토리, https://soaring-dylan.tistory.com/15
- [스크랩] [온도제어] - 윌로펌프서비스 010-9430-0115 - 티스토리, https://wilosvc.tistory.com/m/257
- tjchung55.tistory.com, https://tjchung55.tistory.com/14774273#:~:text=%EC%96%B4%EB%8A%90%20%EC%AA%BD%EC%9D%98%20%EC%A0%9C%EC%96%B4%EB%B0%A9%EB%B2%95,%EC%A0%90%EC%97%90%20%EB%8C%80%ED%95%B4%20%EC%9D%B4%EC%95%BC%EA%B8%B0%20%ED%96%88%EC%8A%B5%EB%8B%88%EB%8B%A4.
- P, PI, PD, PID 제어. - 1.35년에 한번 쓰는 블로그 - 티스토리, https://maxpulse.tistory.com/139
- 비례제어 솔레노이드 밸브용 ’컨트롤러’의 작동원리 (애니메이션 | 자막) - YouTube, https://m.youtube.com/watch?v=Ptr5vNT9yiA&pp=ygUNI-uyqOu4jOqzoOyepQ%3D%3D
- (제어) PID 제어, P제어에 대하여… - ROBO-STORY - 티스토리, https://robo-story.tistory.com/5